Олимпиады по математике для 11 класса

Олимпиады по математике для 11 класса

В современном мире технологий многие профессии требуют глубоких знаний точных наук. Царица всех наук, математика, сегодня не обходит стороной ни одну сферу деятельности человека. Даже простые технические профессии предусматривают хорошие знания вычисления, и умение работать с серьезной техникой. Будущие выпускники школ, которые уже определились с дальнейшим изучением и освоением профессии, в основе чего лежит математика, имеют возможность самостоятельно и объективно протестировать свои знания и приобрести дополнительные бонусы для поступления в вуз.

Задачи по математике. 11 класс

Задача 1.

О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой,
известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой.
Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Решение:

Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций:

(1) сумма и разность непрерывных функций — непрерывные функции;

Теперь заметим, что по условию непрерывны функции f(x) + f(2x) и f(x) + f(4x), а в силу свойства (2) вместе с функцией f(x) + f(2x) непрерывна и функция f(2x) + f(4x).
Далее, по свойству (1) непрерывна функция (f(x) + f(2x)) + (f(x) + f(4x)) – (f(2x) + f(4x)) = 2f(x), а, значит, и функция f(x).

Задача 2.

В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун,
причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном.
Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов.
Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так,
чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Решение:

Докажем утверждение индукцией по числу n учеников в классе.
Для n = 3 утверждение очевидно.
Предположим, что оно верно при n ≤ N. Пусть n = N + 1.
Утверждение верно, если в классе ровно один молчун. Пусть их не менее двух.
Выделим молчуна A и его друзей — болтунов B ₁ , ,B _k .
Для оставшихся n – 1 – k учеников утверждение верно, т.е. можно выделить группу M, в которой каждый болтун дружит с нечётным числом молчунов и в M входит не менее учеников.
Предположим, что болтуны B ₁ , ,B _m дружат с нечётным числом молчунов из M, а B _{m + 1} , ,B _k — с чётным числом.
Тогда, если , то добавим к группе M болтунов B ₁ , ,B _m ,
а если , то добавим к группе M болтунов B _{m + 1} , ,B _k и молчуна A.
В обоих случаях мы получим группу учеников, удовлетворяющую условию задачи.

Задача 3.

Многогранник описан около сферы.
Назовём его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань.
Докажите, что больших граней не больше 6.

Решение:

Пусть R — радиус шара.
Сопоставим каждой большой грани часть граничной сферы шара, расположенную в конусе, вершиной которого служит центр шара, а основанием — проекция шара на эту грань.
Указанная часть сферы является «сферической шапочкой» (то есть частью сферы, лежащей по одну сторону от секущей сферу плоскости) высоты .
По известной формуле площадь такой «шапочки» равна .
Так как указанные «шапочки» не перекрываются, сумма их площадей не превосходит площади сферы.
Обозначив количество больших граней через n, получим , то есть .
Решение заканчивается проверкой того, что .
Примечание. Легко видеть, что у куба шесть больших граней.
Поэтому приведенная в задаче оценка числа больших граней является точной.

Задача 4.

Существуют ли действительные числа a, b и c такие,
что при всех действительных x и y выполняется неравенство
|x + a| + |x + y + b| + |y + c| > |x| + |x + y| + |y| ?

Решение:

Ответ: Нет.
Предположим, что такие числа a, b и c существуют.
Выберем x > 0 и y > 0 такие, что x + a ≥ 0, x + y + b ≥ 0, y + c ≥ 0.
Тогда разность между левой и правой частями равна a + b + c.
А если взять x 0, с другой a + b + c

Задача 5.

Клетки квадрата 50 × 50 раскрашены в четыре цвета.
Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (то есть сверху, снизу, слева и справа)
имеются клетки одного с ней цвета.

Решение:

Предположим, что клетки квадрата n × n удалось раскрасить таким образом, что для любой клетки с какой-то стороны от неё нет клетки одного с ней цвета.
Рассмотрим тогда все клетки одного цвета и в каждой из них нарисуем стрелочку в том из четырёх направлений, в котором клетки того же цвета нет.
Тогда на каждую клетку «каёмки» нашего квадрата будет указывать не более одной стрелки.
Так как клеток каёмки всего 4n – 4, то и клеток каждого цвета не более 4n – 4.
С другой стороны, каждая из n² клеток нашего квадрата раскрашена в один из четырёх цветов, то есть n² ≤ 4(4n – 4).
Для решения задачи теперь достаточно заметить, что последнее неравенство неверно при n = 50.
Несложно убедиться, что оно неверно при всех n ≥ 15, и, следовательно,
утверждение задачи верно уже в квадрате 15 × 15 — а заодно и в любом большем квадрате.

Задача 6.

Для бесконечного множества значений многочлена,
существует более одной целой точки, в которой принимаются эти значения.
Докажите, что существует не более одного целого значения многочлена,
принимаемого ровно в одной целой точке.

Решение:

Из условия следует, что многочлен имеет ненулевую степень.
Докажем, что данный многочлен p(x) имеет чётную степень, а его график имеет вертикальную ось симметрии.
Не умаляя общности, мы можем считать старший коэффициент многочлена p(x) положительным
(иначе многочлен можно заменить на – p(x)).
Если p(x) имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по абсолютной величине x он возрастает, и, следовательно, может принимать более чем в одной целой точке лишь конечное число значений.
Поэтому степень p(x) чётна.
Тогда при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x — убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды.
Упорядочим эти значения: a ₁ 2 k больший, а y _k — меньший прообраз a _k .
Таким образом, p(x _k ) = p(y _k ) = a _k .
Мы докажем, что при достаточно больших k сумма x _k + y _k постоянна.
Для этого рассмотрим два старших коэффициента p(x): p(x) = ax n + bx n – 1 +
Тогда

(многоточия скрывают члены не выше (n – 2)-й степени; кроме того, мы воспользовались чётностью n).
Заметим, что коэффициенты при x n у многочленов p(x) и p(c – x) совпадают; что же до коэффициентов при x n – 1 , то существует единственное значение c (а именно c = – 2b/(an)), при котором совпадают и они.
Если c > c , то p(x) – p(c – x) — многочлен степени n – 1 с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны.
Поэтому при достаточно больших k x _k + y _k 0 + 0.1 (иначе будет p(y _k ) > p(c + 0.1 – x _k ) > p(x _k )). Если, наоборот, c 0 , то p(x) – p(c – x) — многочлен степени n – 1 с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны.
Поэтому при достаточно больших k x _k + y _k > c – 0.1. Но x _k + y _k — целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны: x _k + y _k = c.

Но тогда многочлены p(x) и p(c – x) совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак p(x) – p(c – x) должен совпадать со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди x _k есть сколь угодно большие числа, и для них p(c – x _k ) = p(y _k ) = p(x _k ).)
Итак, p(x) = p(c – x) при всех вещественных x.
Тогда любое значение, принимаемое в целой точке x ≠ c/2, принимается и в точке c – x ≠ x.
Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке — это p(c/2), да и то, если только c/2 – целое.

Олимпиадные задания по математике 11 класс.

Варианты заданий с решением и ответами : 1 вариант | 2 вариант | 3 вариант

Тест 15. Найдите отличия.

Тест 16. Найдите предложения, которыми можно описать картинку.

На улице зима.
Дети катаются на санках.
В варежках зимой на улице теплее
На картинке нет деревьев.
Возле дома есть каток.
У мальчика синяя шапка.
На улице идет снег.
Снегири сидят на ветке.
Дети дружно лепят снеговика.
У мальчика зеленые глаза.
Белочка просит лакомство.

И еще задания для тестирования ребенка 7 лет. Обратите внимание на каком задании у вашего малыша возникает заминка и проработайте эту часть.

1. Выстроите действия в правильную последовательность.
2. Закрасить окружность, взять ручку, нарисовать окружность.
3. Надеть куртку, слепить снеговик, встать с дивана, выйти на улицу.
4. Покормить кота, подойти к миске, взять колбасу, подойти к холодильнику.
5. Сесть за стол, выписать из книжки 5 предложений, взять ручку, открыть книжку.
6. Отметьте истинные предложения.
   В Сибири не бывает холодов.
   Медведи зимой впадают в спячку.
   Кукушки подбрасывают яйца в чужие гнезда.
   Многие птицы осенью улетают на юг.
   Сахар в чае размешивают вилкой.
   Новый год празднуют 30 ноября.
   Летом в лесу можно найти ягоды.
   Кошки живут в тайге.
   Мыши не боятся кошек.
   В Африке всегда жарко.

4. Какой у вас тип мышления? – Testometrika

Онлайн-опросник состоит из 32 вопросов. Все они составлены с учетом теоретических данных Джерома Брунера о типах мыслительных процессов. Здесь определите свои сильные стороны в мыслительной деятельности, что поможет вам качественно выполнять свою работу.

На блоге у нас есть большая и классная статья с классификацией всех видов мышления. Загляните, если интересно.

Методика помогает увидеть свои психологические особенности, как вы получаете и обрабатываете информацию: через предметы, символы, знаки или образы. После завершения тестирования узнаете, какой вид мышления набрал большее количество баллов, и прочитаете много интересного о себе. Кстати, эта методика может очень помочь при выборе профессии или переквалификации.

§ Методические рекомендации родителям будущих первоклассников или как подготовится к тестированию

Для поступления в первый класс ребенок должен уметь связно высказывать свои мысли, ориентироваться в пространстве и времени, обладать элементарными знаниями по математике (сложить числа, назвать геометрические фигуры), работать с письменными принадлежностями.

Приведем некоторые рекомендации для родителей будущих первоклассников, составленные на основании опыта учителей начальных классов. Благодаря этим рекомендациям родители смогут самостоятельно подготовить своего ребенка к тестированию.

Ребенок, идущий в первый класс, должен уметь составить простой рассказ о себе и своей семье, знать, чем занимаются родители по долгу службы, ориентироваться во времени и пространстве. Плюсом к знаниям ребенка будет умение отличать разные профессии, знать, кто и чем может заниматься. Малыш должен понимать отличие между дикими и домашними зверями и птицами, знать основные виды деревьев, кустарников, цветов, понимать, какие из них относят к комнатным, а какие к уличным.

Для подготовки ребенка к тестированию можно пользоваться тетрадями с печатной основой для дошкольников. В них составлены понятные упражнения на развитие внимания, логического мышления, развития памяти.

Для развития математических знаний ребенка учите его считать палочки, кубики, ступеньки, выполняйте арифметические упражнения, не забывайте, что заниматься с дошкольниками нужно в игровой форме.

Для развития письменных способностей давайте ребенку рисовать, писать, раскрашивать картинки, лепить из пластилина и заниматься аппликацией. Чем лучше будет развита у него мелкая моторика, тем лучше будут его успехи в письме.

Настройте ребенка на то, что в тестировании нет ничего страшного и сами ведите себя спокойно. Ваша взволнованности передастся ребенку, и он тоже начнет переживать.